最短路径之迪杰斯特拉(Dijkstra)算法金沙官网线

4 总结

迪杰特拉斯算法求解了一个起始节点到所有其他节点的最短路径,时间复杂度为$O(n^2)$ ,即使人们可能只想知道从起始节点到某个特定的节点的最短路径,时间复杂度同样为$O(n^2)$ 。

理解一个算法和实现一个算法还有有些区别的。理解一个算法,只需要明白算法原理和它的逻辑过程即可,但是实现一个算法,不仅要明白算法的逻辑过程,还考究我们的程序设计能力。

2 算法流程

根据上面的算法原理分析,下面描述算法的实现流程。

  1. 初始化:初始化辅助数组cost,从v0出发到图上其余节点v的初始权值为:$cost[i]=graph[0,i]  |  v_i in V$ ;初始化待求节点S集合,它的初始状态为空集。

  2. 选择节点$v_j$ ,使得$cost[j]=Min ( cost[i] | v_i in V -S )$ ,$v_j$ 就是当前求的一条从v0出发的最短路径的终点,修改S集合,使得$S=Sbigcup V_j$ 。

  3. 修改从v0出发到节点V-S上任一顶点$v_k$ 可达的最短路径,若cost[j]+graph[j,k]<cost[k] ,则修改cost[k]为:cost[k]=cost[j]+graph[j,k] 。

  4. 重复操作2,3步骤,直到求解集合V中的所有节点为止。

其中最短路径的存储采用一个path整数数组,path[i]的值记录vi的前一个节点的索引,通过path一直追溯到起点,就可以找到从vi到起始节点的最短路径。比如起始节点索引为0,若path[3]=4, path[4]=0;那么节点v2的最短路径为,v0->v4->v3。

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法主要是针对没有负值的有向图,求解其中的单一起点到其他顶点的最短路径算法。本文主要总结迪杰斯特拉(Dijkstra)算法的原理和算法流程,最后通过程序实现在一个带权值的有向图中,选定某一个起点,求解到达其它节点的最短路径,来加深对算法的理解。

3.2 调用代码

int max = 10000;
int[,] graph = new int[6, 6] {
    {max,max,10,max,30,100},
    {max,max,5,max,max,max},
    {max,max,max,50,max,max},
    {max,max,max,max,max,10},
    {max,max,max,20,max,60},
    {max,max,max,max,max,max},
};
int []path = new int[6];
int []cost = new int[6];
DijkstraSolution.FindShortestPath(graph, 0, path, cost,max);

1 算法原理

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是一个按照路径长度递增的次序产生的最短路径算法。下图为带权值的有向图,作为程序中的实验数据。

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其中,带权值的有向图采用邻接矩阵graph来进行存储,在计算中就是采用n*n的二维数组来进行存储,v0-v5表示数组的索引编号0-5,二维数组的值表示节点之间的权值,若两个节点不能通行,比如,v0->v1不能通行,那么$graph[0,1]=infty$ (采用计算机中最大正整数来进行表示)。那如何求解从v0每个v节点的最短路径长度呢?
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首先,引进一个辅助数组cost,它的每个值$cost[i]$表示当前所找到的从起始点v0到终点vi的最短路径的权值(长度花费),该数组的初态为:若从v0到vi有弧,则$cost[i]$为弧上的权值,否则置$cost[i]$为$infty$ 。显然,长度为:
$$
cost[j]=Min_i(graph[0,i] | v_i in V)
$$
的路径就是从v0出发的长度最短的一条最短路径。此路径为$(v_0,v_j)$ ,那么下次长度次短的路径必定是弧$(v_0,v_i)$ 上的权值$cost[i](v_i in V)$,或者是$cost[k](v_k in S)$ 和弧$(v_k,v_i)$ 的权值之和。其中V:待求解最短路径的节点j集合;S:已求解最短路径的节点集合。

其实迪杰斯特拉(Dijkstra)最短路径算法是上一篇文迷宫问题求解之“A*搜索”(二)所讲到的 A*搜索算法中的一个特例,当A *搜索算法中 h(n)函数为0的时候,那么它就是迪杰斯特拉算法,算法原理一样,只不过在写程序的时候稍微有点区别而已。

3 算法实现

采用c#语言对第2节中的算法流程进行实现,关键代码如下。

5 参考资料和资源

金沙官网线上,参考资料:严蔚敏的《数据结构c语言版》

源代码:http://download.csdn.net/download/mingge38/9657216

3.3 运行结果

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3.1 最短路径代码

class DijkstraSolution
{
    /*
        * 求解各节点最短路径,获取path,和cost数组,
        * path[i]表示vi节点的前继节点索引,一直追溯到起点。
        * cost[i]表示vi节点的花费
        */
    public static void FindShortestPath(int[,] graph,int startIndex, int[] path, int[] cost,int max)
    {
        int nodeCount = graph.GetLength(0);
        bool[] v = new bool[nodeCount];
        //初始化 path,cost,V
        for (int i = 0; i <nodeCount ; i++)
        {
            if (i == startIndex)//如果是出发点
            {
                v[i] = true;//
            }
            else
            {
                cost[i] = graph[startIndex,i ];
                if (cost[i] < max) path[i] = startIndex;
                else path[i] = -1;
                v[i] = false;
            }
        }
        //
        for(int i=1;i<nodeCount;i++)//求解nodeCount-1个
        {
            int minCost = max ;
            int curNode=-1;
            for (int w = 0; w < nodeCount; w++)
            {
                if (!v[w])//未在V集合中
                { 
                    if(cost[w]<minCost)
                    {
                        minCost = cost[w];
                        curNode = w;
                    }
                }
            }//for  获取最小权值的节点
            if (curNode == -1) break;//剩下都是不可通行的节点,跳出循环
            v[curNode] = true;
            for (int w = 0; w < nodeCount; w++)
            {
                if (!v[w] && (graph[curNode, w] + cost[curNode] < cost[w]))
                {
                    cost[w] = graph[curNode, w] + cost[curNode];//更新权值
                    path[w] = curNode;//更新路径
                }
            }//for 更新其他节点的权值(距离)和路径
        }//
    }
}

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